Quarks, Gluonen und die QCD
Nach 100 Trillionen Rechenoperationen beim historischen Ergebnis
von Prof. Dr. Zoltan Fodor und Dr. Christian Hoelbling /
fodor@physik.uni-wuppertal.de, hoelbling@physik.uni-wuppertal.de
Dr. Christian Hoelbling
Prof. Dr. Zoltan Fodor
Aber was sind nun diese leichten Bausteine der Atomkerne? Seit mittlerweile über 30 Jahren sind sich Physiker einig, dass Protonen und Neutronen, aus denen die Atomkerne zusammengesetzt sind, selbst aus wiederum jeweils drei so genannten Quarks bestehen. Der Vorschlag, dass dies so sei, ist allerdings wesentlich älter, nämlich aus dem Jahre 1964. Damals erkannte Murray Gell-Mann, dass sich mit dieser Annahme Ordnung in den damals schon unübersichtlich großen Zoo an beobachteten „elementaren“ Teilchen bringen lässt. Wenn man davon ausgeht, dass sich eine gewisse Familie von Teilchen, die so genannten Baryonen (zu denen beispielsweise Protonen und Neutronen zählen), aus drei und eine andere Familie, die so genannten Mesonen, aus nur zwei dieser Quarks zusammensetzt, so benötigt man nur drei Quarks, um alle damals bekannten Baryonen und Mesonen daraus aufzubauen. Für diese fundamentale Entdeckung erhielt Gell-Mann 1969 den Nobelpreis, doch hatte das Modell zunächst noch einen großen Haken: Niemandem war es bis dahin gelungen, ein einzelnes Quark zu beobachten, und daran hat sich bis heute nichts geändert. Es musste daher erst eine Theorie gefunden werden, die dieser Tatsache Rechnung trägt, die zwar Quarks als fundamentale Objekte enthält, die aber gleichzeitig verbietet, je ein einzelnes, freies Quark zu beobachten. Und noch etwas Wesentliches sollte eine solche Theorie leisten: sie sollte erklären, wieso der Atomkern, der aus elektrisch neutralen Neutronen und positiv geladenen Protonen besteht, überhaupt zusammenhalten kann. Mit anderen Worten, die Theorie musste eine Kraft enthalten, die den Atomkern zusammenhält. Da diese Kraft stärker sein muss als die elektrische Abstoßung zweier positiv geladener Protonen im Atomkern, wird sie auch die „starke Kernkraft“ oder einfach „starke Kraft“ genannt.
1973 schlugen Gell-Mann, Fritzsch und Leutwyler eine solche Theorie vor, die Quantenchromodynamik, oder kurz QCD. Ihren farbenfrohen Namen verdankt diese Theorie der Tatsache, dass jedes der drei Quarks nun zusätzlich eine Ladung besitzt, die drei verschiedene Komponenten hat. Wie die Grundfarben rot, grün und blau lassen sich die Werte dieser Ladungen zusammensetzen. Will man also zum Beispiel ein farbneutrales „weißes“ Teilchen aus den Quarks zusammensetzen, so benötigt man dazu zumindest drei Quarks, ein rotes, ein grünes und ein blaues. Da es zu jedem Teilchen aber auch immer ein Antiteilchen mit genau umgekehrter Ladung gibt, zu blau zum Beispiel anti-blau (das heißt gelb), ist es auch möglich ein farbneutrales Teilchen aus einem Quark und einem entsprechenden Antiquark zusammenzustellen. Interessanterweise würden die farbneutralen Kombinationen aus drei Quarks genau den oben erwähnten Baryonen, also z.B. Protonen oder Neutronen, entsprechen und die ebenso farbneutralen Kombinationen aus je einem Quark und einem Antiquark den oben erwähnten Mesonen. Gäbe es in der Theorie also einen Mechanismus, der erklärt, warum nur farbneutrale Objekte beobachtet werden können, so wären viele Rätsel des Quarkmodells gelöst.
Tatsächlich glaubt man heute diesen Mechanismus, den sogenannten Quarkeinschluss, zu kennen. Er beruht auf einer Eigenschaft der zweiten Teilchenart, die in der QCD neben den Quarks vorkommt, den so genannten Gluonen. Im Gegensatz zu den Quarks, die die „Materieteilchen“ der QCD darstellen, sind die Gluonen die „Austauschteilchen“, die Teilchen, die die starke Kernkraft zwischen den Materieteilchen vermitteln. Sie sind also das Gegenstück der elektrischen und magnetischen Felder, die die elektromagnetische Kraft zwischen Ladungen vermitteln, oder, genauer gesagt, sie sind das exakte Gegenstück der Teilchen, aus denen elektrische und magnetische Felder bestehen, der Lichtteilchen oder Photonen. Und genauso wie zwei elektrische Ladungen einander gegenseitig abstoßen oder anziehen, indem sie Photonen austauschen, tun dies auch Quarks, indem sie Gluonen austauschen.
Abb. 1: Das Feld zweier entgegengesetzter elektrischer
Ladungen dehnt sich über den gesamten Raum aus.
Abb. 2a: Zwei entgegengesetzte
Farbladungen (Quarks)
sind durch ihr Feld aneinander
gebunden.
Abb. 2b: Versucht man die
Ladungen zu trennen, entsteht
stattdessen ein neues Quarkpaar
und es bilden sich zwei
gebundene Ladungspaare.
Elektrische Felder können sich daher ungehindert im gesamten Raum ausdehnen (siehe Abb. 1), während sich bei Farbladungen ein seltsames Phänomen ergibt. Nimmt man ein farbneutrales Objekt (Meson), das aus zwei Quarks mit jeweils entgegengesetzter Farbladung besteht, wird sich das aus Gluonen bestehende Farb-Feld um die zwei Quarks herum einschnüren (siehe Abb. 2a). Da die Gluonen des Feldes selbst wiederum Ladung tragen können und daher von den Quarks und auch den anderen Gluonen des Feldes wiederum angezogen werden, wird sich das Gluonenfeld nicht ausbreiten, sondern einschnüren. Versucht man nun die Quarks wie elektrische Ladungen zu trennen (Abb. 2b), so wird das Einschnüren des Feldes dazu führen, dass sich zwischen den Quarks ein Schlauch des Gluonenfeldes ausbildet, in dem bei zunehmender Entfernung der Quarks voneinander mehr und mehr Energie steckt. Schließlich, wenn genügend Energie in diesem Schlauch steckt, wird sich die überschüssige Energie in Masse verwandeln, konkret in zwei weitere, wiederum entgegengesetzt geladene Quarks, die den einen langen Schlauch nun in zwei kleinere spalten. Als Endresultat des Versuchs, zwei geladene Quarks aus ihrem Gefängnis zu befreien, stehen also nicht zwei freie Quarks, sondern zwei farbneutrale Objekte (Mesonen).
Dies ist ein recht anschauliches Bild dessen, welcher Mechanismus in der QCD steckt, um Farbladungen zu verbergen. Doch um zu beweisen, dass die Theorie korrekt ist, und um gleichzeitig nützliche Vorhersagen aus ihr ableiten zu können, ist es notwendig, die Gleichungen der QCD tatsächlich zu lösen. Zunächst konnten Politzer, Gross und Wilczek schon 1973 zeigen, dass Quarks in der QCD „assymptotisch frei“ sind, das heißt, dass sie sich bei hohen Energieen wie freie Teilchen verhalten und dass daher die QCD eine mathematisch wohldefinierte Theorie ist. Für diese Entdeckung erhielten sie 2004 (und 't Hooft und Veltman, die dafür wesentliche Vorarbeiten geleistet hatten, 1999) den Nobelpreis. So grundlegend diese Voraussetzung erscheinen mag, ist die QCD bis heute die einzige uns bekannte und in der Natur realisierte fundamentale Theorie, die mathematisch konsistent ist – nicht einmal die klassische Elektrodynamik erfüllt dieses Kriterium.
Mit diesem Schritt war theoretisch bewiesen, dass alle Eigenschaften der QCD, und damit – sollte diese Theorie stimmen – der starken Kernkraft, im Prinzip durch Lösung der Gleichungen der QCD berechnet werden können. Dies ist deshalb ein sehr großer Schritt, weil sich damit abertausende von Phänomenen, von der Masse und dem Verhalten eines Protons bis zu den Eigenschaften der Neutronensternmaterie oder des Universums Sekundenbruchteile nach dem Urknall, im Prinzip auf nur wenige Parameter der Theorie, das heißt Zahlen, die wir in die Gleichungen hineinstecken müssen, zurückführen lassen. Konkret sind diese Parameter die Stärke der starken Kraft, die so genannte Kopplungskonstante der QCD, sowie die Massen der einzelnen Quarks. Da man damals nur drei Quarks kannte, waren dies also vier Parameter. Heute kennen wir insgesamt sechs Quarks, womit die Zahl der Parameter sich auf sieben erhöht hat. Die drei neu entdeckten Quarks sind allerdings so schwer, dass sie für gewöhnliche Materie irrelevant sind.
Mit diesen Methoden ausgestattet konnten Physiker in den vergangenen fast vier Jahrzehnten eine Unzahl von nützlichen Vorhersagen treffen, die, soweit bekannt, alle mit Experimenten übereinstimmen. Ein großes Problem blieb allerdings bestehen: All diese Vorhersagen betrafen ausschließlich das Verhalten der Quarks bei hohen Energieen, wo diese „assymptotisch frei“ sind. Eine Beschreibung der farbneutralen Bindungszustände der Quarks, wie zum Beispiel des Protons, war mit diesen Methoden unmöglich.
Als Folge davon entwickelten sich in den darauffolgenden Jahren viele Modelle, die mehr oder weniger angelehnt an die QCD die Phänomene „effektiv“ beschrieben, das heißt, die nicht den Anspruch hatten fundamental korrekt zu sein, sondern annähernd richtige Resultate mit einfachen Mitteln zu erhalten. Fundamentale Dinge wie der Quarkeinschluss oder die Existenz und Masse des Protons wurden in diesen Modellen einfach als gegeben vorausgesetzt.
Einen ersten Schritt in Richtung einer allgemeineren Lösung der QCD-Gleichungen und eines quantitativen Verständnisses des Quarkeinschlusses unternahm im Jahr 1974 Gell-Manns Schüler Kenneth Wilson (Nobelpreis 1982). Er schlug vor, die Gleichungen der QCD nicht im gesamten Raum (und für jede Zeit), sondern nur auf den Punkten und Verbindungsstäben eines Gitters zu lösen. Da man es nun nur mehr mit endlich vielen Punkten zu tun hat, kann man diese Gleichungen im Prinzip auf einem Computer lösen. Dies erwies sich im Allgemeinen jedoch bald als ein äußerst schwieriges Unterfangen.
Die Probleme, die sich dabei ergeben, sind vielfältiger Natur. Zum einen ist es notwendig, das Gitter groß genug zu wählen, sodass alle darin enthaltenen Teilchen nichts davon „spüren“, dass sie nicht im gesamten Raum, sondern nur in einem kleinen Ausschnitt davon „leben“. Zum anderen müssen aber die Gitterpunkte einen relativ kleinen Abstand zueinander haben, damit die Gleichungen, wenn man sie auf das Gitter setzt, nicht allzu stark verzerrt werden. Weiter muss berücksichtigt werden, dass die Lösung der QCD-Gleichungen auf jedem noch so kleinen Gitterabstand immer von der tatsächlichen Lösung abweicht. Es ist daher notwendig, die Gleichungen auf Gittern mit verschieden großem Abstand zu lösen und schließlich zur ursprünglichen Theorie zu extrapolieren, in der der Abstand zwischen zwei Punkten verschwindet. Ebenso muss mit dem Volumen verfahren werden, das in der QCD unendlich ist.
Ein weiterer subtiler Punkt ergibt sich aus der Tatsache, dass keine freien Quarks beobachtet werden können. Folglich kennen wir die Masse eines freien Quarks auch nicht a priori und können sie deshalb auch nicht von Beginn an in die Gleichungen der QCD hineinstecken. Dasselbe gilt auch für den anderen Parameter der QCD, die Stärke der Kraft oder Kopplungskonstante. Da wir keine freien Quarks beobachten können, können wir auch nicht direkt messen, wie stark sie sich gegenseitig anziehen. Um die korrekten Werte für diese Parameter zu finden, müssen wir zunächst ihre Auswirkungen auf die Eigenschaften beobachtbarer Objekte studieren und dann die Parameter so verändern, dass diese Eigenschaften mit den in der Natur beobachteten übereinstimmen. Hinzu kommt noch, dass die tatsächliche Masse der Quarks sehr klein, also nahe 0 ist, was in der mathematischen Behandlung der Gleichungen besondere Schwierigkeiten verursacht.
Aufgrund solcher Probleme ist es nicht verwunderlich, dass die ersten Rechnungen, die auf dieser Gittermethode beruhten, beinahe ein Jahrzehnt auf sich warten ließen. Zunächst waren dies sehr grobe Näherungen, die nicht den Anspruch erheben konnten, Lösungen der Gleichungen der QCD zu sein. Im Laufe der Jahre allerdings führte unser fortschreitendes Verständnis der Theorie zu immer effizienteren Methoden, die Gleichungen der QCD auf ein Gitter abzubilden. Fortschritte in der numerischen Mathematik und nicht zuletzt das rasante Wachstum in der Computertechnologie taten ein Übriges, um die zunächst sehr groben Näherungen Schritt für Schritt zu verfeinern. Bald schon konnte man den Quarkeinschluss qualitativ nachvollziehen und auch sehr bald schon wurde klar, dass die Masse des Protons wesentlich größer sein musste als die Summe der Massen der Quarks, aus denen es besteht. In der Folge wurde die Gittermethode verwendet, um viele andere nützliche Vorhersagen zu machen – so wurden z.B. die Eigenschaften des frühen Universums Sekundenbruchteile nach dem Urknall bestimmt. Doch trotz all dieser Fortschritte war es bis vor einem Jahr nicht gelungen, die Masse des Protons aus den Gleichungen der QCD tatsächlich zu berechnen und so, im Vergleich mit der aus dem Experiment bekannten Masse, die Korrektheit der QCD als Theorie der starken Kernkraft zu überprüfen.
In Zusammenarbeit mit Kollegen aus Budapest, Jülich und Marseille und unter Inanspruchnahme der Supercomputer des Forschungszentrums Jülich und der Bergischen Universität ist es uns nun gelungen, genau diese Rechnung durchzuführen. Die Herausforderung bei dieser Rechnung bestand vor allem darin, bei jedem Schritt eine genaue Bilanz der möglichen auftretenden Fehler zu erstellen und all diese Fehlerquellen so gegeneinander abzuwägen, dass ein präzises Endresultat mit einem Gesamtfehler im Prozentbereich möglich wurde.
Um sicherzustellen, dass das Endergebnis unabhängig von den Details unserer Analysemethode ist, haben wir die gesamte Analyse 432 mal auf leicht verschiedene Weisen wiederholt und aus der sich so ergebenden Streuung den systematischen Fehler berechnet.
Abb. 3: Die Masse des Protons
(Pfeil) und anderer Hadronen.
Schwarze Linien sind die
experimentell gemessenen
Werte, rote Punkte stellen das
Resultat unserer Rechnung
dar, rote Balken geben die
Genauigkeit unserer Resultate
wieder. Die drei blaue Kreise
stellen Teilchenmassen dar,
die wir verwendet haben, um
die Parameter der Theorie zu
setzen. Für sehr kurzlebige
Teilchen, deren Masse nicht
eindeutig definierbar ist, ist
diese Breite als grauer Balken
dargestellt.
Dieses Resultat sollte aber nicht darüber hinweg täuschen, dass wir erst am Anfang eines langen Weges stehen. Trotz aller Optimierungen war zur Durchführung unseres Projekts eine Gesamtrechenleistung von ungefähr 100 Trillionen oder ausgeschrieben 100.000.000.000.000.000.000 Rechenoperationen notwendig. Im Prinzip sollte es möglich sein, die gesamte Kernphysik auf die fundamentale QCD zurückzuführen. Weiterhin ist die genaue Kenntnis aller aus Quarks zusammengesetzten Teilchen essenziell, um mit diesen Teilchen nach neuen, bisher unbekannten Phänomenen zu suchen und damit unser Verständnis vom Aufbau der Materie zu vertiefen. Versuche in diese Richtungen werden seit Jahrzehnten von verschiedensten Gruppen in aller Welt unternommen, mit teilweise herausragenden Ergebnissen.
Trotzdem sind viele dieser Rechnungen wesentlich schwieriger als die hier präsentierte Bestimmung der Protonmasse. Es bleibt also noch viel zu tun, um der QCD, der fundamentalen Theorie mit ihren wenigen Parametern, die volle Vorhersagekraft zu entlocken, die in ihr steckt.